来自前苏联的奥数题，看看你家孩子会不会做？（19年7月19日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第914天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

来自前苏联的一次数学竞赛，

解题所用知识不超过小学5年级。

题目（5星难度）：

一条直线上有100个点，以这些点为端点构成的所有线段中，任意长度的线段都最多有两条。问所有线段的不同长度可能恰好有2490种吗？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题是属于几何与组合问题叠加，

要说明可以恰好有2490种，

需要构造出一种方法满足条件；

要说明不可能恰好有2490种，

需要给出严格的证明。

由于100和2490这个数字没有规律，

故构造的方法不太适用，

直观上选择严格证明的方法。

总的解题思路是：

把这100个点从左到右编号，

分别是1号、2号、…、100号，

分别考虑左端点为1、2、…、99的线段。

将所有左端点相同的线段编为一个组，

则全部线段可以分为99个组，

显然同一组的所有线段长度均不相同。

先考虑两个组中长度相同的线段有多少对，

再考虑所有线段的不同长度的种数。

步骤1：

先思考第一个问题，

任意两个不同的组中，

长度相同的线段最多有多少对？

如下图所示，

假设A，B是两个不同的点，

以A,B左端点的两个组中，

有2对线段长度相同，

即AC=BE,AD=BF。

则由AC=BE可得AB=CE，

且由AD=BF可得AB=DF，

故AB、CE、DF这3条线段长度相等，

这与任意长度的线段都最多有两条矛盾，

这说明假设不成立。

因此两个组中长度相同线段最多一对。

步骤2：

再思考第二个问题，

考虑原题目的答案。

第1组中有99条线段；

第2组中有98条线段，

根据步骤2的结论，

其中最多有1条线段与第1组中长度相同；

第3组中有97条线段，

其中最多有2条线段与前2组中长度相同；

……

第50组中有50条线段，

其中最多有49条线段与前49组中长度相同；

第51组中有49条线段，

其中最多有49条线段与前50组中长度相同；

第52组中有48条线段，

其中最多有48条线段与前51组中长度相同；

……

第99组中有1条线段，

其中最多有1条线段与前51组中长度相同。

应用容斥原理可得，

所有线段的不同长度种数大于等于

99+(98-1)+(97-2)+…+(50-49)

=99+97+95+…+3+1=2500。

由于2490 < 2500。

所以不同长度不可能是2490种。

思考题（4星难度）：

一条直线上有100个点，以这些点为端点构成的所有线段中，任意长度的线段都最多有两条。问长度相同的线段可能是2460对吗？

微信回复“20190719”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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